Awal karier

Dilahirkan Berlin kepada ibu bapa Bosnia, Bešić mula bermain untuk kelab tempatan, Tennis Borussia Berlin ketika berumur sembilan tahun. Dia kekal di situ sehingga berumur 16 tahun, dimana dia kemudiannya menyertai Hamburger SV.[3] Pada 4 November 2010, Bešić melanjutkan kontraknya bersama Hamburg sehingga 1 Julai 2013.[4] Selepas dinamakan sebagai pemain gantian dalam beberapa perlawanan ketika musim 2010–11, dia membuat penampilan sulungnya dalam Bundesliga ketika menentang Borussia Dortmund pada 12 November. Bešić masuk sebagai pemain gantian pada minit ke-80 ketika Dortmund sedang mendahului perlawanan 2–0.[5] Dia bermain dalam kesebelasan utama buat pertam kali dalam perlawanan Bundesliga ketika menentang Borussia Mönchengladbach, dan bermain keseluruhan 90 minit dimana mereka menang 2–1.

Pada bulan Mac 2012, Bešić digantung daripada pasukan utama, kerana kekurangan disiplin, media Bosnia juga mendakwa pengurus, Torsten Fink "mencekik" Bešić dan melemparkannya keluar dari bilik persalinan.[6]

Ferencváros

Pada tahun 2012, Bešić menyertai kelab Hungary, Ferencváros. Pada 4 Julai 2013, dia menjadi duta Bosnia untuk Emmaus Mouvement.[7] Pada 12 Julai 2013, Bešić memanjangkan kontraknya bersama Ferencváros.

Everton

Pada 28 Julai 2014, Bešić menandatangani kontrak lima tahun bersama Everton dengan yuran perpindahan sebanyak £4 juta.[8] Selepas menjadi pemain gantian yang tidak digunakan dalam dua perlawanan pertama liga, dia membuat penampilan pertamanya dalam Liga Perdana Inggeris pada 30 Ogos ketika menentang Chelsea, menggantikan Romelu Lukaku pada minit ke-89; walau bagaimanapun dia membuat kesilapan pertahanan membenarkan pemain lawan, Diego Costa menjaringkan gol terakhir di mana mereka tewas 3–6 di tempat sendiri.[9] Bešić membuat penampilan kesebelasan utama buat pertama kali untuk Everton dalam Merseyside derby pada 27 September, dan dikeluarkan selepas 80 minit digantikan oleh Samuel Eto'o dan pasukannya seri 1–1 di tempat lawan dengan Liverpool.[10]